ESRS連携環境でRSだけシリアルキーを更新する場合でもESRS両方のサービス停止して作業をする必要がありますか？

ESRSの両方のサービスを停止する必要はありませんが、
Ver4.0.1の場合は「シリアルキーを更新するサーバーのみ」サービスと停止が必要となります。
そのため、ご質問のケースでは、レコーディングサーバー（以下、RS）のみサービス停止が必要となります。

なお、Ver4.0.1であっても、　ライセンス追加・更新時録画非停止パッチ　を適用済みの場合は、シリアルキー更新時に
サービス停止は不要となります。
またVer5.0以降のバージョンの場合は、上記パッチを適用しなくてもシリアルキー更新時にサービス停止は不要です。

ーー補足事項ーー
・RSのサービスを止めた場合
　RSサービス停止中は録画も停止しますのでご注意ください。

・エンタープライズサーバー（以下、ES）のサービスを止めた場合
　録画処理はRSサーバー側で行われるため、ESを停止しても録画欠損は発生しません。
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「シリアルキーの更新方法」および「サービス停止時の影響」の詳細についてはESまたはRSのインストールマニュアルを
　ご確認ください。

インストールのマニュアルはこちら
（※マニュアルのダウンロードにはサポートサイトへのログインが必要です）

　カメラ管理ソフトウェア
　※インストーラーに同梱されているマニュアルをご参照ください。
　　Ver 4.1.0　　　Ver 5.0.0　　　Ver 5.0.1

　サーバー統合ソフトウェア
　※インストーラーに同梱されているマニュアルをご参照ください。
　　Ver 4.1.0　　　Ver 5.0.0　　　Ver 5.0.1